давайте попробуем вариант «краткие указания, зато к каждой из задач»

(11.04) Докажите, что H и T лежат на биссектрисе угла в точке пересечения X. Для точки H это совсем просто (на биссектрисах двух других углах треугольника CBX она очевидно лежит), для точки T чуть сложнее (указание: четырехугольник XPTQ вписанный).

(10.04) Докажите, что зеленое ГМТ гомотетично нашей окружности. Дейстивтельно, если отметить точку B’, симметричную в точке B относительно O, то подойдет гомотетия с центром в A, переводящая B’ в B.

(04.04) Все эти прямые проходят через основание биссектрисы внешнего угла. Доказать это поможет теорема Менелая.

(01.04) Я не очень разобрался пока (и возможно будет продолжение), но в целом это одно из проявлений такого замечательного факта: диагонали (и отрезки, соединяющие противоположные точки касания) пересекаются в неподвижной точке.

По мотивам ролика Щетникова - задача от Кнопа:

Даны две пересекающихся окружности. Как одной линейкой построить их общую касательную?

Решается сведением к предыдущей, - если научиться строить центр подобия двух данных пересекающихся окружностей. Попробуйте это сделать.

Одна окружность проходит через B и касается в точке I биссектрисы CI, другая — проходит через C и касается в точке I биссектрисы BI. Доказать, что их линия центров делит отрезок IJ в отношение 1:3 (I центр вписанной окружности, J — вневписанной).

(задача Л.Емельянова и И.Богданова, которая предлагалась вчера на всероссийской олимпиаде)

Проведем через вершины треугольника ABC по прямой и опишем вокруг возникшего в пересечении треугольника окружность. Если она касается описанной окружности треугольника ABC, то то же будет верно, если каждую из прямых отразить относительно биссектрисы соответствующего угла.

(задача А.Кузнецова и И.Фролова — 11.8 на всероссийской олимпиаде вчера)

#реклама
Привет👋

Мы образовательный проект Vuzline для поступающих в вузы России.

Не будем заявлять о том, что только с нами вы поступите на бюджет.

Для нас важно дать выпускникам всю необходимую информацию про поступление, рассказать об изменениях в порядке приема, ответить на все вопросы и, конечно же, поддержать в сложный период жизни😌

В нашем телеграм-канале регулярно трудятся эксперты по поступлению, которые имеют за плечами большой опыт работы с абитуриентами и знают все тонкости приема в российские вузы.

📍Кстати, у нас есть бесплатное мобильное приложение для поступающих. Это первое приложение в России, где в одном месте собрана информация про вузы: актуальные проходные и средние баллы, описание специальностей, количество бюджетных мест, наличие военной кафедры и общежития и многое другое. И даже есть специальный калькулятор, который оценит шансы поступления на бюджет в выбранный вуз.

Все подробности здесь 👉🏻 https://t.me/vuzline

Будем рады каждому из вас❤️

Каждое из оснований высот проектируется на две соседние стороны треугольника. Докажите, что длина отрезка, соединяющего эти проекции, не зависит от выбора высоты.

(Несложная задача на тему непростой теоремы со вчерашней гифки.)

«Об одной скрытой симметрии: разбор задачи 11.8 со Всероссийской олимпиады»

В понедельник 25 апреля в 19:00 профессор МКН СПбГУ Фёдор Владимирович Петров прочитает лекцию, на которую его вдохновила восьмая задача 11 класса заключительного этапа ВСОШ по математике 2022 года.
Вот задача: https://t.me/geometrykanal/1950

Приходите слушать и обсуждать! zoom 3101721994 пароль vmo

https://anton-petrunin.github.io/kiselyov/
https://arxiv.org/abs/1806.06942

Современная версия учебника по геометрии со свободной лицензией на основе «Элементарной геометрии» Киселёва. Под редакцией Н.А.Ершова, А.М.Петрунина и С.Л.Табачникова.

«Перед вами один из лучших учебников по геометрии — многие темы этого учебника просто невозможно объяснить более доходчиво.

Предмет «Геометрия» трактуется сегодня иначе; во времена Киселёва геометрия включала в себя начала анализа и даже элементы теории чисел. Этим учебник Киселёва существенно отличается от современных учебников, и поэтому он может помочь современным школьникам. Например, для них может оказаться полезным геометрическое понимание предела, непрерывности, интеграла, алгоритма Евклида и иррациональных чисел.

Наша цель сделать удобным использование этого учебника сегодня; мы заменили термины на современные и внесли незначительные уточнения, в основном исторические.

(…)

Автор учебника, Андрей Петрович Киселёв, сочетал в себе хорошее понимание современной ему математики и талант школьного учителя — такое сочетание редко и ценно во все времена. В учебнике раскрывается несколько тем, которые были новыми к моменту его написания. Этот учебник (очевидно) написан на основе учебника Августа Юльевича Давидова, структура взята практически без изменения, но с существенными улучшениями. Практически весь учебник строится на строгих доказательствах, и при этом Киселёв смог обойтись без зауми; очевидно, что в этом помог его преподавательский опыт. Доказательства в учебнике всегда строятся по наиболее наглядному пути (пусть даже чуть более сложному) — однажды поняв такое доказательство, его уже невозможно забыть.»

Подниму из комментариев такую картинку.

Глядя на нее нетрудно понять, что длина отрезка, соединяющего проекции на стороны основания высоты, равна полупериметру ортотреугольника (в частности, не зависит от выбора высоты).

И даже больше: что все эти проекции лежат на одной окружности («окружность Тейлора»), а именно на окружности Конвея для серединного треугольника ортотреугольника.

Доп. литература: Д.В.Прокопенко. Окружности Конвея и Тейлора, «точка Мякишева»

👨‍💻 Ваши ученики могут отправиться на лето в IT-компанию
#реклама

Платформа «Сферум» с 6 по 24 июня запускает Летний кампус для школьников! Это месяц полного погружения в разработку, маркетинг и дизайн продуктов. А ещё мастер-классы экспертов и возможность побывать в классном офисе VK.

Дети смогут испытать себя в самых востребованных профессиях: от разработчика до комьюнити-менеджера, участвовать в реальных проектах и решать бизнес-задачи с наставниками. Минимум теории и максимум практики.

Кто может принять участие в кампусе? Учащиеся 8–11-х классов от 14 до 17 лет из Москвы и Московской области.

Мест всего 10 — чтобы занять одно из них, ученику нужно успешно выполнить тестовое задание. Прочитать всё-всё о Летнем кампусе «Сферума», выбрать специальность и подать заявку можно на сайте: https://clck.ru/ggmbL

Расскажите о Летнем кампусе ученикам — помогите им сделать шаг навстречу будущей карьере!

Диагонали делят описанный четырехугольник на 4 треугольника. Доказать, что центры вписанных в эти треугольники окружностей сами лежат на одной окружности.

(Одна из задач, решение которых можно узнать из статьи Ивана Фролова в свежем выпуске Мат. Просвещения.)

Во вписанно-описанном четырехугольнике соединили центр описанной окружности с вершинами. Доказать, что центры окружностей, вписанных в получившиеся треугольники, сами лежат на одной окружности.

(Еще одна задача, решение которой можно узнать из статьи Ивана Фролова в свежем выпуске Мат. Просвещения.)

Закончил, наконец, текст про двойные отношения. В основном речь во второй части про гармонические четверки.
https://vk.com/@olympgeom-pro-dvoinoe-otnoshenie-chast-ii

Отметим на стороне бумажного квадрата произвольную точку X и перегнем квадрат так, чтобы B совпала с X (этот момент показан на рисунке).

Теперь разогнем квадрат и согнем заново, чтобы, наоборот, A совпала с X. Что можно утверждать про точку пересечения двух сгибов вне зависимости от выбора точки X?

(А.Сгибнев показывал такую задачу из книги «Оригамика» сегодня на открытом уроке. По-моему здорово — и доступно начинающим.)

Четырехугольник вписан в окружность и описан около окружности. Доказать, что отрезки, соединяющие точки касания вписанной окружности со сторонами, перпендикулярны.

(Как ни странно, это не очень сложно. Вспомнилось — по мотивам вопроса в комментариях.)

Четырехугольник описан около окружности. Доказать, что диагонали и отрезки, соединяющие точки касания, пересекаются в одной точке.