Доказывать, что в описанном четырехугольнике диагонали и соединяющие точки касания отрезки пересекаются в одной точке, можно по-разному.

В комментариях уже вспомнили про теорему Брианшона, про элементарное решение с площадями, про комплексные числа…

А вот на видео Дима Швецов объясняет, почему утверждение очевидно, если понимать, как устроена модель Клейна гиперболической геометрии:
https://youtu.be/NA9Wfr4_e2o?t=1185
(ссылка на конкретное место, но и всю лекцию рекомендую).

На полосу положили квадрат, сторона которого равна ширине полосы, притом так, что его граница пересекла границу полосы в четырех точках. Докажите, что две прямые, проходящие накрест через эти точки, пересекаются под углом в 45 градусов.

Такая задача Произволова здесь уже когда-то была. Повод ее вспомнить — новый ролик коллеги Щетникова: https://youtu.be/8IZyPdkTiFs (а также новое издание «Задач на вырост» Произволова, из которого и взята картинка).

Четырехугольник описан около окружности. Доказать, что середины диагоналей и центр окружности лежат на одной прямой.

(В продолжение темы вписанных/описанных четырехугольников — прямая Ньютона. Есть разные решения, выше в чате два уже можно найти.)

Отрезки соединяют вершины квадрата с серединами сторон. Какая доля площади квадрата закрашена зеленым цветом?

Попробуйте решить без слишком уж громоздких вычислений, а потом можно посмотреть видеоразбор коллеги Щетникова: https://youtu.be/b0INWFn9k2o

В начале мая в Кирове прошел 58-й Уральский турнир юных математиков. Он как всегда проводился в трех возрастных группах: старшая — 8 класс, младшая — 7 класс и супер-младшая — 6 класс. Как обычно, на весеннем турнире геометрические задачи предлагались и для 8-го класса, и для 7-го, поэтому их получилось довольно много. Многие из задач годятся тем, кто только начинает учиться геометрии. Вообще же среди задач этого турнира, были и довольно сложные, и вполне себе симпатичные. Традиционно предлагаю посмотреть на них.

https://vk.com/@olympgeom-vse-geometricheskie-zadachi-58-go-uralskogo-turnira-unyh-mat

Правильный восемнадцатиугольник разбит на восемнадцать одинаковых пятиугольников. Докажите, что точки X, Y и Z лежат на одной прямой.

#задача

https://youtu.be/IguNXoCjBEk

в качестве картинок по выходным — новое видео Mathologer’а про формулу Герона и родственников

см. также https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/HeronsFormula.shtml (и другие ссылки в описании видео)

Пусть вписанная в треугольник окружность имеет радиус r и делит стороны на отрезки x,y,z. Тогда

xyz=r²(x+y+z) (*)

(например, для египетского треугольника (*) превращается в равенство 1+2+3=1×2×3).

Из (*) сразу следует формула Герона: домножим обе части на p — получим pxyz=pr×r(x+y+z)=S².



Чтобы доказать (*), перепишем его в виде

(x/r)(y/r)(z/r)=(x/r)+(y/r)+(z/r)

и заметим, что каждое из отношений — это котангенс половины соответствующего угла треугольника. Мы знаем, что

ctg(A/2+B/2+C/2)=ctg(π/2)=0,

а в числителе формулы для котангенса суммы как раз стоит сумма трех котангенсов минус их произведение (ну и как обычно с триг. формулами, можно вместо вычислений рисовать картинку — см. видео выше).

В предыдущем доказательстве формулы Герона мы пользовались тем, что ctg(A/2)=(p-a)/r.

В комментариях научили, что можно написать аналогичное равнество для вневписанной окружности — ctg(A/2)=r_c/(p-b) — и формула Герона получится мгновенно даже без тригонометрии.

Действительно, равенство двух выражений для котангенса означает, что

(p-a)(p-b)=rr_c,

а тогда

p(p-a)(p-b)(p-c)=pr×(p-c)r_c=S².

На стороне квадрата построен прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 (см. рис.).
1) В каком отношении прямая EO делит сторону AD квадрата?
2) Какова длина отрезка OE?
3) Какова длина отрезка OI (где I центр вписанной в прямоугольный треугольник окружности)?

(Контекст будет попозже, пока просто задача.)

с решения предыдущей задачи начинается лекция Дмитрия Викторовича Прокопенко на проходившем на майских праздниках выездном семинаре учителей

вот видеозапись: https://vk.com/video-144882556_456239252

по пути там много про что рассказывается (вот краткий план на фотографии ), посмотрите

#реклама

Предлагаем вам открыть свою школу с помощью Учи.ру

Учи.ру — это крупная онлайн-платформа, на которой обучается каждый второй школьник России, а также известная сеть школ математики, программирования и английского языка. Бизнес с Учи.ру — это возможность сохранить и преумножить сбережения.

Доверие родителей и высокий спрос на образовательные услуги поможет вашей школе быстро окупиться и стать прибыльной:

• 4 млн рублей в среднем приносит школа в первый год.
• 1 месяц понадобится, чтобы школа начала приносить доход.
• 150 тыс. рублей в среднем вы будете зарабатывать в месяц с одной школы.
• 6 месяцев понадобится, чтобы вложения окупились.

Готовы присоединиться к команде? В июне действует акция: три школы по цене одной. Оставьте заявку и получите подробный бизнес-план, калькулятор расчета прибыли, вебинар «Как открыть школу и зарабатывать 150 000 ₽ в месяц» и консультацию эксперта бесплатно https://goo.su/ZMpfRf

В выпуклом восьмиугольнике ABCDEFGH все углы равны. Внутри него выбрали произвольную точку O.
Докажите, что сумма расстояний от точки O до прямых, содержащих стороны восьмиугольника, не зависит от выбора точки O.

Это задача из заочного конкурса журнала «Квантик», который сейчас идет. Поэтому не обсуждайте ее, пожалуйста, еще три дня. Лучше зовите школьников поучаствовать в конкурсе. Через 3 дня начнется новый тур.

К началу лета, дню защиты детей и окончанию учебного года! Новое видео, в котором можно погрузиться в теорему о бабочке. Очень-очень много доказательств, среди которых и элементарные, и крайне содержательные. Есть даже доказательство теоремы Дезарга об инволюции, которое так давно просили записать... Материала получилось много — на любой вкус.

Внутренности:

00:00 intro + варианты формулировки
00:03:17 немного истории про трех Уильямов

Доказательства:

00:05:21 Осевая симметрия + счет углов
00:08:18 Проекции центра + счет углов
00:10:29 Радикальные оси
00:13:09 Доказательство Уоллеса — степени точки
00:17:26 Доказательство из книги Коксетера-Грейтцера
00:20:09 Фалес + Чева + счет углов
00:23:59 Почти площади
00:27:54 Очень красивая лемма Харуки
00:32:29 Осевая симметрия + теорема Паскаля
00:36:34 Еще теорема Паскаля + счет углов
00:38:24 Проекции отрезка на стороны
00:44:04 Инверсия + лемма о велосипедистах
00:50:11 Проективное преобразование
00:53:20 Двойные отношения
00:55:42 Гармонические четверки
00:58:52 Полярное преобразование
01:05:16 Теорема Дезарга об инволюции (ДИТ)
01:07:10 Определение и свойства проективных инволюций
01:14:31 Доказательство теоремы Дезарга об инволюции
01:18:08 Вывод теоремы о бабочке из ДИТ
01:19:59 Выход в пространство + симпатичная лемма
01:23:53 Доказательство пространственного утверждения
01:27:55 Вывод плоского утверждения из пространственного
01:29:48 Красивое алгебраическое доказательство

Обобщения
01:33:56 Обобщения и похожие утверждения

https://youtu.be/NIx_QnGemtc

картинка по выходным — на тему задачи Аполлония (о построении окружностей, касающихся трех данных)

Melchoir / Wikimedia Commons

о1) Пусть три окружности попарно пересекаются. Тогда их общие хорды пересекаются в одной точке.

э1) Пусть три эллипса, каждые два из которых имеют общий фокус, пересекаются. Тогда их общие хорды пересекаются в одной точке.

Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/z2urhbxc

За рассказы спасибо Ф.Нилову

о2) Рассмотрим три окружности. Проведем для каждой пары общие внешние касательные и отметим их точку пересечения. Тогда три отмеченные точки лежат на одной прямой.

э2) Рассмотрим три эллипса, каждые два из которых имеют общий фокус. Проведем для каждой пары общие внешние касательные и отметим их точку пересечения. Тогда три отмеченные точки лежат на одной прямой.

Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/xyyfchbt

(Утверждение про окружности — это известная теорема Монжа. Аналог для эллипсов видимо заметил А.Акопян. В каком-то вольном смысле это утверждение двойственно к предыдущему.)

Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник со стороной a впи­сан в окруж­ность. Пря­мые, проходящие через его вер­ши­ны перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности, рав­на c. Докажите, что a‍²+b²=c².

несколько задач на тему «один отрезок равен сумме двух других» от Г.Б.Филипповского (Квант №4 за 2019 год)

если на картинке плохо видно — http://mi.mathnet.ru/kvant858

Два треугольника, вписанные в одну окружность, в пересечении образуют 6 угольник. Доказать, что три его диагонали пересекаются в одной точке.

(Амир Валиахметов в чате спрашивает, как такое доказывать и какой контекст. Наверное это родственник Паскаля, но какой именно?..)