Forwarded from Фулл и точка
#геом_разминка #medium #8
Разминка со вчерашней регаты 10 классов ⛵️
Задача. Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделили на 9 равных частей, провели отрезки и раскрасили так, как показано на рисунке, Докажите, что равны суммы площадей красных и синих частей.
Разминка со вчерашней регаты 10 классов ⛵️
Задача. Каждую сторону выпуклого четырехугольника разделили на 9 равных частей, провели отрезки и раскрасили так, как показано на рисунке, Докажите, что равны суммы площадей красных и синих частей.
👎15❤12🔥3🥰2
Через вершину правильного тетраэдра проведена плоскость, касающаяся его вписанной сферы и отсекающая от противоположной грани треугольник. Докажите, что периметр этого треугольника не зависит от выбора плоскости.
(продолжая тему стереометрии от М.Евдокимова — такая задача с прошедшего в воскресенье базового варианта Турнира городов)
(продолжая тему стереометрии от М.Евдокимова — такая задача с прошедшего в воскресенье базового варианта Турнира городов)
👍8
Вот две мои задачи с заочного тура олимпиады Шарыгина. Предлагались под номерами 17 и 18.
17. Дан остроугольный треугольник ABC с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке T. Точки X и Y лежат на сторонах AB и AC так, что ∠AOX = ∠AOY = ∠BTC. Докажите, что HT ⊥ XY.
18. Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP, CP повторно пересекают окружность ABC в точках E, F соответственно. Окружность Ω проходит через точки P, E и пересекает прямую AC в точках B1, B2. Прямые PB1, PB2 пересекают прямую AB в точках C1, C2. Докажите,что точки C1, C2, P, F лежат на одной окружности.
17. Дан остроугольный треугольник ABC с ортоцентром H и центром описанной окружности O. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках B и C пересекаются в точке T. Точки X и Y лежат на сторонах AB и AC так, что ∠AOX = ∠AOY = ∠BTC. Докажите, что HT ⊥ XY.
18. Дана точка P внутри треугольника △ABC. Прямые BP, CP повторно пересекают окружность ABC в точках E, F соответственно. Окружность Ω проходит через точки P, E и пересекает прямую AC в точках B1, B2. Прямые PB1, PB2 пересекают прямую AB в точках C1, C2. Докажите,что точки C1, C2, P, F лежат на одной окружности.
🔥15❤3👎1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Дан отрезок AB, M — его середина. На отрезках AM и BM построили синие квадраты. Красная кривая-восьмерка - это множество точек, для которых произведение расстояний до A и B равно площади синего квадрата (лемниската Бернулли). Тогда площади, ограниченные восьмеркой из двух квадратов и лемнискатой-восьмеркой, равны.
P.S. С 8 марта, весны вокруг и на душе!
P.S. С 8 марта, весны вокруг и на душе!
❤14🤩9👍5🔥4👎2
На сторонах треугольника площади 1 во внешнюю сторону построили квадраты и соединили их вершины красными отрезками как на рисунке.
Доказать, что из красных отрезков можно составить треугольник площади 3.
// доступная начинающим задача с КМО вчера ( https://t.me/matheduks/657 )
Доказать, что из красных отрезков можно составить треугольник площади 3.
// доступная начинающим задача с КМО вчера ( https://t.me/matheduks/657 )
❤17😁1
Квадрат и два прямоугольных треугольника расположены как на рисунке. Доказать, что четвертая вершина квадрата лежит на пунктирном отрезке.
// доступная задача Д.Мухина с сегодняшней ММО (mmo.mccme.ru/2026/ — была в слегка другой формулировке)
// доступная задача Д.Мухина с сегодняшней ММО (mmo.mccme.ru/2026/ — была в слегка другой формулировке)
🔥7👍5❤3👎2
Существует ли выпуклый пятиугольник, каждая точка на границе которого является вершиной вписанного в него квадрата?
// задача Егора Морозова со вчерашнего Турнира городов (turgor.ru/problems/47/vs-47-sl-avt.pdf — там была аккуратнее формулировка), про которую было интересно довольно долго думать
// задача Егора Морозова со вчерашнего Турнира городов (turgor.ru/problems/47/vs-47-sl-avt.pdf — там была аккуратнее формулировка), про которую было интересно довольно долго думать
👍5
Forwarded from кружочек (Андрей Рябичев)
[пятница 20 марта, 16:15, ауд.301]
Фëдор Нилов (МГУ),
"О семействах подобных конических сечений, касающихся четырех окружностей"
Классическая задача Штейнера состоит в нахождении числа невырожденных конических сечений (кривых второго порядка), касающихся 5 заданных конических сечений на плоскости. Мы построим две конфигурации из четырех окружностей, таких что существует семейство подобных конических сечений, касающихся этих окружностей.
Фëдор Нилов (МГУ),
"О семействах подобных конических сечений, касающихся четырех окружностей"
Классическая задача Штейнера состоит в нахождении числа невырожденных конических сечений (кривых второго порядка), касающихся 5 заданных конических сечений на плоскости. Мы построим две конфигурации из четырех окружностей, таких что существует семейство подобных конических сечений, касающихся этих окружностей.
❤8
FG201527.pdf
79.7 KB
любимая мной статья «Some Theorems on Polygons with One-line Spectral Proof» (Gregoire Nicollier в Forum Geometricorum)
про простые доказательство обобщенной теоремы Наполеона и т.п. фактов
стало тяжело скачать в сети, так что хотел бы сохранить ее здесь
ниже — пара иллюстраций полезности метода
про простые доказательство обобщенной теоремы Наполеона и т.п. фактов
стало тяжело скачать в сети, так что хотел бы сохранить ее здесь
ниже — пара иллюстраций полезности метода
🔥5👍2
Геометрия-канал
FG201527.pdf
в качестве приложения к предыдущему — 4 задачи (две классические, две менее известные)
🔥12❤2
На плоскости даны четыре точки. Тогда |pow(X,(ABC))·S(ABC)| не зависит от того, какую из четырех точек мы назвали X.
(Здесь pow — степень точки относительно окружности — в данном случае, проходящей через точки A, B, C.)
// via https://t.me/geometry_nilov/608 — см. тж. обсуждение там в комментариях
(Здесь pow — степень точки относительно окружности — в данном случае, проходящей через точки A, B, C.)
// via https://t.me/geometry_nilov/608 — см. тж. обсуждение там в комментариях
❤8🤔4
Из каждой вершины тетраэдра опустили перпендикуляр на противоположную грань. Основание каждого перпендикуляра совпало с точкой пересечения медиан соответствующей грани. Обязательно ли этот тетраэдр правильный?
// задача М.Малкина с устного тура Турнира Городов вчера ( turgor.ru/oralround/47/vs-47-ustn-avt.pdf )
// задача М.Малкина с устного тура Турнира Городов вчера ( turgor.ru/oralround/47/vs-47-ustn-avt.pdf )
👎12❤6👍5
У первого тетраэдра каждый двугранный угол не больше соответствующего двугранного угла второго. Доказать, что все неравенства обращаются в равенство.
// задача с лекции Громова; на олимпиаде Шарыгина предлагалася в 2014 году частный случай: что все углы не могут быть меньше, чем у правильного тетраэдра
// задача с лекции Громова; на олимпиаде Шарыгина предлагалася в 2014 году частный случай: что все углы не могут быть меньше, чем у правильного тетраэдра
🔥6👎3❤2
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Синяя кривая на картинке - это множество точек, для которых сумма расстояния до А и расстояния до B, умноженного на фиксированный коэффициент, постоянна. Эта кривая называется овалом Декарта. Рене Декарт обнаружил, что для нее выполняется следующее оптическое свойство: для любой ее точки отношение синусов углов (красного и синего) между нормалью к кривой и направлениями на А и В постоянно. Таким образом, эта кривая преломляет лучи, выходящие из А, так, что преломленные лучи фокусируются в В.
См. https://www.kvant.digital/issues/1977/6/berezin-ovalyi_dekarta-5cc7337a/ и https://www.kvant.digital/issues/1979/12/forbs-k_opisaniyu_ovalov_i_mnogofokusnyih_ovalnyih_krivyih-805c0669/
См. https://www.kvant.digital/issues/1977/6/berezin-ovalyi_dekarta-5cc7337a/ и https://www.kvant.digital/issues/1979/12/forbs-k_opisaniyu_ovalov_i_mnogofokusnyih_ovalnyih_krivyih-805c0669/
🔥18❤2😱2👍1
Forwarded from Олимпиадная геометрия
This media is not supported in your browser
VIEW IN TELEGRAM
Всем привет! Обещанного сколько-то там ждут. Видео про элементарное доказательство теоремы Фейербаха так и не появилось, но зато появился текст с анимациями сразу на двух языках русском и английском!
Надеюсь, вам понравится.
Надеюсь, вам понравится.
🔥7❤4
если были на устной олимпиаде по геометрии в это воскресенье или просто решали ее задачи — вот они, кстати: https://olympiads.mccme.ru/ustn/usl26ge.pdf — напишите, что из задач понравилось?
❤3💯1