Онлайн-ярмарка образовательных товаров и услуг

Приглашаем участвовать в онлайн-ярмарке образовательных товаров и услуг в канале matolimp. Аудитория канала и групп matolimp — родители школьников из Москвы, интересующиеся олимпиадами и поступлением в топовые школы.

Расскажите на Ярмарке о кружках для школьников, индивидуальных и групповых занятиях, весенних и летних лагерях, офлайн и онлайн интенсивах, об образовательных онлайн-сервисах и платформах, об экскурсиях — обо всём, что может быть интересно родителям мотивированных школьников из Москвы.

Ярмарка пройдёт с 4 по 10 марта. Госшколы, компании с госденьгами и специальные гости могут размещаться бесплатно, для остальных стоимость участия от 3000 рублей в зависимости от типа услуги и параметров объявления. При самом раннем (до 18 февраля) и раннем (до 25 февраля) бронировании действуют скидки до 15%..

Участвуйте сами и расскажите другим руководителям образовательных проектов о ярмарке в канале @matolimp
Условия участия, отзывы участников прошлых ярмарок и более подробную информацию можно получить у @maxim_dmitriev
#реклама

Разрезаем квадрат на шесть частей и складываем из них круг — https://www.quantamagazine.org/an-ancient-geometry-problem-falls-to-new-mathematical-techniques-20220208/

Картинка красивая, но правду тоже надо сказать.

В исходной статье количество частей явно не написано, но есть доклад одного из авторов про это: https://www.math.ucla.edu/~marks/talks/2017_02_circle_squaring.pdf — и там явно сказано, что «Our equidecomposition of the circle and square uses ≈ 10^200 pieces».
Так что 6 частей на картинке — это фантазия художника и низкое разрешение.

в качестве картинок по выходным — португальские изразцы (азулежу) 18 века с геометрическими теоремами

(конкретно здесь предложение 3 книги 6 «Начал»: биссектриса делит сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам)

подробности: Euclid in tiles: the mathematical azulejos of the Jesuit college in Coimbra, https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s00591-014-0130-8.pdf

В четырёхугольнике ABCD известно, что AB=BC=CD, ∠A = 70° и ∠B = 100°. Чему могут быть равны углы C и D?

(задача с сегодняшнего Матпраздника; автор М.А.Волчкевич)

В недавнем видео, посвящённом задачам Г.Б.Филипповского, Дмитрий Швецов и Дмитрий Мухин разбирали такую задачу на построение:

Дан треугольник, а также вписанная в него окружность (с центром) и описанная вокруг него окружность (без центра). С помощью одной линейки постройте диаметр этой окружности, проведя не более семи прямых.

Решение, которое они рассказали, начиналось с идеи "нам не нужна вписанная окружность, достаточно иметь ее центр".

Докажите, что если кроме центра, все-таки использовать еще и точки касания вписанной окружности со сторонами, то для построения медианы треугольника (одной линейкой) достаточно трёх прямых, а для построения диаметра - пяти прямых.

То самое видео по задачам Григория Борисовича Филипповского.

https://youtu.be/dOjrO6K6WDM

Предельно наглядно: среднее арифметическое всегда не меньше среднего геометрического
https://medium.com/@satoshihgsn/visual-proof-of-inequality-of-arithmetic-and-geometric-means-am-gm-inequality-a-b-2-ab-d7ec78e05292

плакат для кабинета математики с разными геометрическими интерпретациями неравенств о средних

картинка: https://zadachi.mccme.ru/plak/estimates.jpg
версия для типографии: https://zadachi.mccme.ru/plak/estimates.pdf
этот и другие плакаты М.Панова: https://zadachi.mccme.ru/plak/

Дан треугольник и вписанная в него окружность (с отмеченным центром и точками касания сторон). Как построить одной линейкой медиану треугольника?

Коллега Кноп рассказал в чате рецепт — вот он на картинке (соединяем две точки касания и пересекаем с нормалью в третьей точке касания — получается точка на медиане).

Доказать это — на удивление непросто. Завтра будет решение (а может и не одно).

Контекст: https://t.me/geometrykanal/1929 и https://t.me/c/1141607031/25034

Напоминание про прямую Симсона: проекции точки описанной окружности на стороны треугольника лежат на одной прямой; и наоборот, если проекции точки на стороны треугольника лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности.

Обсуждение (в т.ч. разные доказательства): https://vk.com/@olympgeom-pro-pryamuu-simsona

(Обещанное решение задачи выше.)

Проведем через точку N прямую, параллельную стороне треугольника. Фактически нам нужно доказать, что AN — медиана зеленого треугольника.

И это легко получается из прямой Симсона: из условия ясно, что проекции точки O на стороны зеленого треугольника лежат на одной прямой — значит, O лежит на его описанной окружности.

А это уже победа: так как AO биссектриса, O — середина дуги B’C’, а ее проекция N на хорду B’C’ — середина этой хорды.

См. также статью http://mi.mathnet.ru/kvant1089 Д.Прокопенко и Д.Швецова в Кванте №2 за 2020 год.

Два треугольника пересекаются по шестиугольнику, который отсекает от них 6 маленьких треугольников. Радиусы вписанных окружностей этих шести треугольников равны. Докажите, что радиусы вписанных окружностей двух исходных треугольников также равны.

(Задача с Московской математической олимпиады сегодня. Автор — А.Кушнир.

На странице https://mmo.mccme.ru/2022/ есть остальные задачи.)

Бумажный квадрат перегнули по прямой как на рисунке. Найдите угол MAN.

(Задача с устной олимпиады для 7 класса сегодня. Автор — А.Д.Блинков.)

https://youtu.be/kDdQexuZ1r4

лекция Ю.А.Блинкова о геометрических задачах В.В.Произволова (июль 2021, финал геометрической олимпиады им. Шарыгина)

Дима Швецов обратил внимание на задачу M2668 из журнала «Квант»:

Даны две окружности, для которых есть семейство четырехугольников, описанных вокруг первой окружности и вписанных во вторую. Обозначим a, b, c, d последовательные длины сторон одного из таких четырехугольников. Докажите, что величина a/c+c/a+b/d+d/b не зависит от выбора четырехугольника.

Динамический чертеж: https://www.geogebra.org/m/ybnhh27c

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности треугольника ABC внутренним образом в точке B и не пересекающую прямую AC. Отметим на ω точки P и Q так, чтобы прямые AP и CQ касались ω, а отрезки AP и CQ пересекались внутри треугольника ABC. Докажите, что все полученные таким образом прямые PQ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

(задача А.Марданова со вчерашнего устного тура Турнира городов; тоже via Д.Швецов)

Зафиксирована окружность и проходящая через ее центр прямая AB. Для каждого диаметра XY той же окружности отметим пересечение AX и BY — что получится?

(задача Акопяна и Заславского с сегодняшней устной олимпиады по геометрии)

Точки P и Q таковы, что QB=BC=CP. Доказать, что центр T описанной окружности треугольника APQ, ортоцентр H исходного треугольника и пересечение CP с BQ лежат на одной прямой.

(геометрия с только что закончившейся EGMO-2022)