На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.

Очередная задача от компьютера. Источник: 2022 Czech and Slovak Olympiad III. Закрашенный четырёхугольник является прямоугольником.

Очень крутая, но малоизвестная теорема (Теорема Витасса). Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке P. Тогда, прямые Эйлера треугольников APB,BPC,CPD,APD пересекаются в одной точке. (Также можно задуматься, когда они являются параллельными)

Отличные плакаты Миши Панова!

https://zadachi.mccme.ru/plak/

Необычная для «Математических этюдов» премьера: «Теорема о двух кругах» https://etudes.ru/etudes/two-circles-theorem/ . Теорема даёт явное построение касательных к циклоидам – траекториям, описываемым фиксированной точкой окружности, катящейся без проскальзывания по некоторой гладкой линии.

Во-первых, необычная, так как просто объяснение геометрической теоремы. Но настолько красивой, что заслуживает своей отдельной экранизации. Кроме того, теорема дополняет цикл по понятию «огибающая» – сюжеты
«Парабола: изонить» https://etudes.ru/models/parabola-string-art/ ,
«Эллипс, гипербола, парабола: складывание листа бумаги» https://etudes.ru/models/conic-sections-paper-folding/ ,
«Кардиоида и нефроида» https://etudes.ru/models/cardioid-nephroid/ ,
«Каустики: нефроида и кардиоида» https://etudes.ru/etudes/caustic-nephroid-cardioid/ .

Теорема о двух круга, применённая к эпициклоидам, завершает доказательство того, что в цилиндрической чашке видна каустика в виде нефроиды, а в конической, когда лучи света параллельны образующей, – кардиоида.

Ну и во-вторых, премьера открывает новый жанр на Этюдах – повествование с анимированными рисунками.

Добрая задача про трапецию

Давно у нас не было геометрии. И сегодня новая 40-градусная задачка из серии "Геометрия для всех"!

Вершины ломаной ABCD лежат на сторонах прямоугольника (см. рисунок). Все звенья ломаной равны, а два отмеченных на рисунке угла равны 40⁰. Чему равен угол CAD?

Пример, когда n=4 (прямые - это окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку)

Пример, когда n=5 (прямые - это окружности, проходящие через бесконечно удаленную точку)

Добрая задача про равные окружности: красные окружности равны, докажите, что угол прямой

https://miro.com/app/board/uXjVKY1HfmI=/ & https://geometry.ru/dv.html — материалы по геометрии с сегодняшнего семинара учителей

Опять задача про Шалтая и Болтая. Закрашенный четырёхугольник является параллелограммом.

Даны две пересекающиеся окружности. Доказать, что длина отрезка BC не зависит от выбора точки A.

а кому это слишком просто — решите задачу Д.В.Прокопенко с устной олимпиады по геометрии 2010 года:

Серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС остроугольного треугольника АВС пересекают прямые АС и ВС в точках М и N. Пусть точка С движется по описанной окружности треугольника ABC, оставаясь в одной полуплоскости относительно АB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

можно считать, что всё это в качестве рекламы упомянутого семинара — вот, кстати, видеозапись: https://youtu.be/j-Z3-IfS8b4

Касательную к вписанной окружности треугольника отразили относительно биссекстрис его внешних углов. Докажите, что три полученные прямые ограничивают треугольник, равный исходному.

Разбираем 4 решения геометрической задачи с недавно прошедшей ММО!

Точка H является ортоцентром треугольника ABC.

Из точки X провели касательные к параболе. Точки касания соединили отрезком и отметили его середину M. Доказать, что XM вертикальный (параллелен оси параболы).

// А родственником какого утверждения про окружность вы бы это назвали?

Дана пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Crazy fact

Два равных треугольника.
Любое количество окружностей.
Переставлять можно в любом порядке.