Теорема Дезарга = Теорема Паскаля.
Хотим например доказать теорему Дезарга для выделенных цветных треугольников. Тогда по обратной теореме Паскаля получаем, что красные точки на одной конике. Применяя теорему Паскаля для них, но в другом порядке получаем нужную коллинеарность.
Хотим например доказать теорему Дезарга для выделенных цветных треугольников. Тогда по обратной теореме Паскаля получаем, что красные точки на одной конике. Применяя теорему Паскаля для них, но в другом порядке получаем нужную коллинеарность.
❤25🔥4👍1👎1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Кривизна окружности - это единица, деленная на ее радиус. Сумма кривизн окружностей в цепочке Штейнера остается неизменной при ее вращении, таким образом, является инвариантом. Кроме того, инвариантом является сумма k степеней кривизн, где k - любое натуральное число, меньшее числа окружностей в цепочке.
https://www.geogebra.org/classic/dqwpzzae
Подробности в статье:
https://arxiv.org/pdf/1811.08030
https://www.geogebra.org/classic/dqwpzzae
Подробности в статье:
https://arxiv.org/pdf/1811.08030
www.geogebra.org
GeoGebra Classic - GeoGebra
Free online apps bundle from GeoGebra: get graphing, geometry, algebra, 3D, statistics, probability, all in one tool!
👍5❤3👎1🔥1🤔1
а) запишем для N-мерного куба количество вершин, количество всевозможных прямых через пары вершин, количество всевозможных плоскостей через тройки вершин… что за последовательность получится?
(например, для N=3 получается последовательность 8,28,20)
б) доказать, что эта последовательность всегда унимодальна (до какого-то момента возрастает, потом убывает)
(первый пункт — по мотивам вопроса Антона Авдеева в чате; ответа не знаю
второй пункт — по мотивам недавней филдсовской премии June Huh; унимодальность такой последовательности для произвольного набора точек — насколько понимаю, остается открытой проблемой уже больше 50 лет)
(например, для N=3 получается последовательность 8,28,20)
б) доказать, что эта последовательность всегда унимодальна (до какого-то момента возрастает, потом убывает)
(первый пункт — по мотивам вопроса Антона Авдеева в чате; ответа не знаю
второй пункт — по мотивам недавней филдсовской премии June Huh; унимодальность такой последовательности для произвольного набора точек — насколько понимаю, остается открытой проблемой уже больше 50 лет)
❤6👎1
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины AB и CH. Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
// к дню рождения А.А.Заславского — пусть здесь будет такая его задача с ММО/Тургора-2005
// к дню рождения А.А.Заславского — пусть здесь будет такая его задача с ММО/Тургора-2005
❤18🔥2👎1
Адамар 22.pdf
215.3 KB
Конспект Владимира Сергеевича Захарова к небольшому семинару по формуле Адамара для расчёта объёмов.
❤9👍2
в новый Квант (№2 за 2025 год) вошла статья Ф.Бахарева и Г.Челнокова про Why-точки, полуописанные окружности и прямую Эйлера
https://biblio.mccme.ru/node/281875
ранее на эту тему: https://t.me/olympgeom/1265
https://biblio.mccme.ru/node/281875
ранее на эту тему: https://t.me/olympgeom/1265
❤19👍2
Проекциями некоторого треугольника на каждую из двух перпендикулярных плоскостей являются а) правильные; б) равнобедренные прямоугольные треугольники. Могут ли они быть неравными?
// А.Д.Блинков рассказал задачу
// А.Д.Блинков рассказал задачу
👍2🔥1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Приятная геометрия с сегодняшнего устного тура Турнира Городов.
На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее число вершин 100-угольника могут находиться внутри круга?
Любопытно дополнительно подумать, можно ли что-то разумное в трехмерном пространстве спросить по аналогии?
На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее число вершин 100-угольника могут находиться внутри круга?
Любопытно дополнительно подумать, можно ли что-то разумное в трехмерном пространстве спросить по аналогии?
❤9🔥3👍1
Forwarded from Геометрия с Ниловым
Теорема Сильвестра-Галлаи утверждает, что для любого конечного числа точек на плоскости, не лежащих на одной прямой, существует прямая, проходящая ровно через две точки данного множества.
Разумно сформулировать аналогичный вопрос для пространства:
Верно ли, что для любого конечного числа точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, существует плоскость, проходящая ровно через три неколлинеарные точки данного множества?
Интересно, что ответ здесь отрицательный. Попробуйте придумать какие-то контр-примеры.
Разумно сформулировать аналогичный вопрос для пространства:
Верно ли, что для любого конечного числа точек в пространстве, не лежащих в одной плоскости, существует плоскость, проходящая ровно через три неколлинеарные точки данного множества?
Интересно, что ответ здесь отрицательный. Попробуйте придумать какие-то контр-примеры.
❤9🤔6👍1👎1
Задача 8 из олимпиады 239, которая прошла недавно. Предлагалась для 8-9 класса. Остальные задачи можно найти тут.
Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается его гипотенузы BC в точке D. Прямая AD пересекает описанную окружность в точке X.
Докажите, что |BX − CX| ≥ |AD − DX|.
Вписанная окружность прямоугольного треугольника ABC касается его гипотенузы BC в точке D. Прямая AD пересекает описанную окружность в точке X.
Докажите, что |BX − CX| ≥ |AD − DX|.
❤8😱2
Forwarded from Геометрия от Волчкевича
Треугольник с углами 40, 60 и 80 градусов.
Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была быть им по возрасту, то есть должна иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!
Пожалуй самую красивую задачу, которую я придумал за последний год, вчера решали семиклассники на Московской устной олимпиаде. Само собой, что она была быть им по возрасту, то есть должна иметь решение без счета и тригонометрии. Предлагаю вам над ней тоже подумать. Обещаю: получите большое удовольствие!
❤18
Геометрия-канал
синий треугольник вписан в параболу; касательные в его вершинах образуют зеленый треугольник — доказать, что его площадь вдвое меньше площади синего // задача M2831 из Кванта, предложил М.Панов
JMO 2017.
Дан правильный треугольник ABC и точка P на его описанной окружности. Прямые AP,BP,CP пересекают прямые BC,AC,AB в точках D,E,F соответственно. Докажите, что площадь DEF в два раза больше, чем у ABC.
Попробуйте понять связь c этой задачей)
Дан правильный треугольник ABC и точка P на его описанной окружности. Прямые AP,BP,CP пересекают прямые BC,AC,AB в точках D,E,F соответственно. Докажите, что площадь DEF в два раза больше, чем у ABC.
Попробуйте понять связь c этой задачей)
👍2❤1
Forwarded from Записки юного геометра на пенсии (Щербатов Ярослав)
Немного проспал(буквально) конец олимпиады, но вот моя задача с сегодняшней олимпиады. По-моему очень презабавно утверждение как факт...
Московская устная олимпиада по геометрии, 2025 год, 10-11 класс, Задача 6.
Московская устная олимпиада по геометрии, 2025 год, 10-11 класс, Задача 6.
❤5👍3
на сайте устных олимпиад ( https://olympiads.mccme.ru/ustn/ ) кроме условий устной олимпиады по геометрии появились решения, списки победителей и призеров, статистика
❤5
Forwarded from Кроссворд Тьюринга (Vanya Yakovlev)
В этот раз выступит Валентина Кириченко — математик, профессор матфака ВШЭ. Это особенно приятно, потому что многие авторы «Кроссворда» учились у Валентины Алексеевны.
В начальной школе нас учат вычислять площади квадрата, прямоугольника и других простых фигур с прямолинейными границами.
Но как найти площадь фигуры, ограниченной кривыми линиями? Например, площадь круга или луночки? В старших классах обычно говорят про загадочное число пи, выписывают формулу «пи эр квадрат» и на этом ставят точку. Но на самом деле за числом пи стоит интересная древняя история, полная интеллектуальных взлётов и падений.
Первые достижения – это три луночки Гиппократа Хиосского, придуманные им примерно за пять веков до нашей эры. Мы поговорим об идеях Гиппократа и об их развитии от Древней Греции до наших дней.
Для понимания лекции полезно помнить, что такое треугольник, квадрат, круг и другие базовые геометрические фигуры, которые изучают в детском саду. Формулы для площади фигур помнить не обязательно.
#матклуб #анонс
Please open Telegram to view this post
VIEW IN TELEGRAM
👍13❤2